(1+√5)/2 = 1,61803398...

π = 3,1415926535897932384626433832795...

e = 2.7182818284...
e est la limite de (1 + 1/n)^n quand n tend vers l'infini.
C'est la base des logarithmes népériens : y = ln(x) signifie e^y =x (on a donc ln(e) = 1)
on démontre que e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! ...
ce qui donne : e = 2 + 1/2! + 1/3! + 1/4! ...

Un nombre premier admet pour seuls diviseurs 1 et lui-même.
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 ...

Un nombre de Mersenne est de la forme 2^n - 1 où n est un entier naturel.

Remarque : Un nombre de Mersenne s'écrit avec n 1 en base 2. Il porte le nom de répunit.
Une condition nécessaire (mais non suffisante !) pour qu'un nombre de Mersenne soit premier est que l'exposant n soit lui même premier.
Valeurs de n pour lesquelles le nombre de Mersenne est premier :
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 ,127, 521, 607 ...

Au 5 novembre 2008, on connait 46 nombres premiers de Mersenne. Pour suivre les dernières découvertes : www.mersenne.org

Un nombre parfait est égal à la somme de ces diviseurs (sauf lui-même bien sûr).
Voici les premiers :
6     = 1 + 2 + 3
28   = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Euclide a démontré qu'un nombre premier de la forme 2^n-1 engendre un nombre parfait avec la formule suivante :
2^(n-1)*(2^n - 1)
Ex avec n= 5 : 2^(4)*(2^5 -1) = 16 * (32-1) = 496

Les huit premiers nombres parfaits
6 , 28 , 496 , 8.128 , 33.550.336 , 8.589.869.056, 137.438.691.328, 2.305.843.008.139.952.128

S = n*(n+1) / 2
ex  1+2+3+4+5+6 = 6*7 / 2 = 21

S = n*(n+1)*(2*n+1) / 6
Exemple avec n = 5
1²+2²+3²+4²+5² = 1+4+9+16+25 = (5*6*11)/6 = 55

S = (n*(n+1) / 2)²
exemple avec n=4
1^3+ 2^3+ 3^3 + 4^3 = 1+8+27+64 = (4*5/2)² = 100

Tout nombre qui n'est pas un nombre premier se décompose en un produit de nombres premiers.

Pour obtenir le PGCD de plusieurs nombres, il faut faire la décomposition en facteurs premiers de chaque nombre puis faire le produit de tous les facteurs premiers communs à ces nombres avec leur plus petit exposant.

Pour obtenir le PPCM de plusieurs nombres, il faut faire la décomposition en facteurs premiers de chaque nombre puis faire le produit de tous les facteurs premiers apparus dans les décompositions, chacun n'étant pris qu'une fois avec son plus grand exposant.

C'est le nombre de sous-ensembles possible d'un ensemble
2^n
Exemple avec 3 éléments {a,b,c}
{},{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} = 8 = 2^3

C'est le nombre de permutations possible d'un ensemble n! = 1x2x3...(n-1)xn
0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5040
8! = 40320
9! = 362880
10! = 3628800

Exemple avec l'ensemble {a,b,c}
{a,b,c}, {a,c,b}, {b,a,c}, {b,c,a}, {c,a,b}, {c,b,a} = 6 = 3!

A(p,n) = n! / (n-p)!
C'est le nombre de permutations ordonnées possibles de p éléments parmi n

Exemple avec {a,b,c}, A(2,3) = 6
{a,b}, {b,a}, {a,c}, {c,a}, {b,c}, {c,b}

C(p,n) = n! / (n-p)! * p!
C'est le nombre de permutations sans ordre possibles de p éléments parmi n

Exemple avec {a,b,c}, C(2,3) = 3
{a,b}, {a,c}, {b,c}

exemple :
1+3 = 4 = 2²
1+3+5 = 9 = 3²
1+3+5+7 = 16 = 4²
1+3+5+7+9 = 25 = 5²
1+3+5+7+9+11 = 36 = 6²
1+3+5+7+9+11+13 = 49 = 7²

1+2 = 3
4+5+6 = 7 + 8
9+10+11+12 = 13+14+15
16+17+18+19+20 = 21+22+23+24
...etc
Remarque : chaque ligne commence par les carrés des nombres entiers : 1,4,9,16..

Un nombre est divisible par :

2 s'il se termine par 0,2,4,6 ou 8
3 si la somme de ces chiffres aboutit à 3,6 ou 9
4 si ces deux derniers chiffres sont 00 ou sont divisibles par 4
5 s'il se termine par 0 ou 5
6 s'il est divisible par 2 et 3
7 rien de simple, faite la division !
8 si ces trois derniers chiffres sont 000 ou sont divisibles par 8
9 si la somme de ces chiffres aboutit à 9

Un carré est magique lorsque la somme de chaque ligne, chaque colonne et des deux diagonales est égal à une constante.

Exemple :

4	9	2
3	5	7
8	1	6

0, 10, 1110, 3110, 132110 ? 13123110 : nombres de chiffre du précédent : 1 trois 1 deux 3 un...
4, 2, 4, 5, 6, 4, 3, 4, 4 ? 4 : nombre de lettres de zéro,un,deux,trois...
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ? 21 : suite de Fibonacci : somme des deux précédents
2, 3, 3, 5, 10, 13, 39, 43, 172, 177 ? 885 : séquence +1,x1,+2,x2,+3,x3...

1) Faire 21 avec les chiffres 1, 5, 6, 7 et + - * / 6 / (1- 5/7) = 21

2) En ajoutant les opérations que vous voulez, faites toujours 6
0 0 0 = 6 (0!+0!+0!)! car 0! = 1
1 1 1 = 6 (1+1+1)!
2 2 2 = 6 -> Exemple 2 + 2 + 2 = 6
3 3 3 = 6 3x3-3
4 4 4 = 6 √4+√4√4
5 5 5 = 6 5 + (5 / 5)
6 6 6 = 6 6 + 6 - 6
7 7 7 = 6 7 - (7 / 7)
8 8 8 = 6 √8+√8√8 où ici √ est la racine cubique
9 9 9 = 6 (√9)! + 9 - 9

D'après le légendaire jeu télévisé : Les chiffres et les lettres
La contrainte ici est d'utiliser tous les chiffres. (il existe souvent de nombreuses solutions)

861 avec 3 4 4 5 10 7 -> Exemple ((3x10x7)+4)x4+5
556 avec 3 4 8 25 6 3 (((3+8) x 25 ) + 3 ) x ( 6 - 4 )
287 avec 8 10 4 3 8 5 ((8x10)+5)x3 + (4x8)
261 avec 25 4 3 7 25 3 ((7x25) - ((25-3)x4)) x 3
707 avec 6 9 3 25 9 10 ((6x9) - 10) x (25 - 9) + 3
598 avec 6 8 9 9 7 1 ((9x9)-1)x8 - (6x7)